浅谈极限计算中关于Taylor展开项数及精确度的判定和原理

1. 前置知识：

   • 高阶无穷小

     如果 $ \lim_{x \to x_{0}} \frac{\alpha}{\beta} = 0 $，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 当 $x \to x_{0}$ 时的高阶无穷小，记为$\alpha = o(\beta)(x \to x_{0})$ .

     举例深入剖析一下：

     $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{n}}{x + 2x^{2}} = \lambda$$

     对于n的不同取值，可以得到以下结果：

     $$\forall n \in \left [ 0,1 \right ) \quad s.t. \quad \lambda = +\infty$$ $$n = 1 \quad s.t. \quad \lambda = 1$$ $$\forall n \in \left ( 1, + \infty \right ) \quad s.t. \quad \lambda = 0$$

     根据这个结果，可以把这个无穷小的关系写成：

   $$\forall n \in \left ( 1 , + \infty \right ) \quad s.t. \quad x^{n}=o(x+2x^{2}) \quad or \quad x^{n}=o(x) \quad (x \to 0^{+}) \quad ①$$

   • 高阶无穷小在极限中计算

     于是就可以进行相应的替换：

     $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{o(x)}{x+2x^{2}} = 0$$

   • 高阶无穷小在极限计算中的小问题

     但是如果这样会出现一个巨大的问题，对于下面这个式子：

     $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{o(x)}{x^{2} + 2x^{3}} = what \quad ②$$

     由①得：

     $$\forall n \in \left \{ 2 , 3 \right \} \quad s.t. \quad x^{n}=o(x) \quad (x \to 0^{+})$$

     那么会出现：当 $n=2$ 时 $LHS=1$，而当 $n=3$ 时 $LHS= 0$ 的这一情况，那么这个 $o(x)$ 就在此产生了歧义.

     所以笔者把形如②的出现歧义的式子称为未定义的计算式，此计算式有一特点：

     因为 $o(x)$ 取值的不确定而造成极限在计算得的时候出现两种或多种情况所造成同一式子不同或多种答案.

     而正是这里的歧义才是入手Taylor公式展开项数及精确度的前提.

2. Taylor公式及正文：

   • 泰勒展开

     $$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!}(x-x_0)^0 + \frac{f^{’}(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^{n})$$

     这里使用Taylor展开的带有Peano余项的写法，看到这里的 $o((x-x_0)^{n})$，笔者相信细心的读者 已经发现了这里的高阶无穷小前文所提到过，于是就可以对Peano余项下手，分析误差与精度。

   • 由等价无穷小入手

     刚学高数时，会学到等价无穷小在极限计算中的替换：

     $$x \sim \sin x \sim \tan x \quad (x \to 0)$$

     举一个例子：

     $$\mathbf{求}\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}$$

     这里的 $\tan x$ 与 $\sin x$ 就不能使用 $x$ 来替换，否则答案会与正确答案 $\frac{1}{2}$ 不同 .

   • 等价无穷小替换的实质

     ——Taylor公式的粗略展开

     $$\sin x = x + o(x) \quad (x \to 0)$$ $$\tan x = x + o(x) \quad (x \to 0)$$

   • 探索等价无穷小替换失败的答案

     如果按照等价无穷小的替换来计算（无穷小的计算规则请读者自行了解）：

     $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{x-x+o(x)}{x} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{o(x)}{x^{3}}$$

     计算式会出现三种不同的情况，这也就是笔者上文提到的的未定义的计算式，它出现了歧义，这是不被允许的.

   • 探索如何正确解决此问题

     那将函数再展开呢？

     $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^{3}) \quad (x \to 0)$$ $$\tan x = x +\frac{x^3}{3} + o(x^{3}) \quad (x \to 0)$$

     继续以同一题举例：

     $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{x-x+\frac{x^3}{3}+ \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} \Rightarrow \frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{x^3+o(x^3)}{x^{3}}$$

     于是，经使用更精确的近似后原式得到了正确的答案：

     $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} = \frac{1}{2}$$

   • 由特别到一般，总结规律

     1. Taylor公式在极限中产生误差的原因是出现了未定义的计算式.
     2. 未定义的计算式的出现，是因为高阶无穷小具有集合的特性. 所以需要限定其下限为更精确的值.
     3. 使用Taylor公式近似函数时，如果想要正确计算出答案，就要避免未定义计算式的出现.