解析几何第一章总结

重点概念

  • 定义1.1.2：如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量。向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 相等，记作 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$.

  • 定义1.4.1：由向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots ,\boldsymbol{a}_n$ 与实数 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 所组成的向量

    叫做向量 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \cdots, \boldsymbol{a}_{n} $ 的线性组合.

  • 定义1.4.2：对于 $n(n \geqslant 1)$ 个向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots ,\boldsymbol{a}_n$ 如果存在不全为零的 $n$ 个数 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ,使得

    那么 $n$ 个向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2, \cdots ,\boldsymbol{a}_n$ 称为线性相关的.

  • 定理1.5.5：三个非零向量$\boldsymbol{a}\left\{X_{1}, Y_{1}, Z_{1}\right\}, \boldsymbol{b}\left\{X_{2}, Y_{2}, Z_{2}\right\} ,\boldsymbol{c}\left\{X_{3}, Y_{3}, Z_{3}\right\}$ 共面的充要条件是

  • 定理1.7.6：非零向量 $\boldsymbol{a}=X \boldsymbol{i}+Y \boldsymbol{j}+Z \boldsymbol{k}$ 的方向余弦是

    且

  • 定理1.8.3：向量积是反交换的,即

  • 定理1.8.6：如果 $\boldsymbol{a}=X_{1} \boldsymbol{i}+Y_{1} \boldsymbol{j}+Z_{1} \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=X_{2} \boldsymbol{i}+Y_{2} \boldsymbol{j}+Z_{2} \boldsymbol{k}$ ,那么

  • 定理1.9.3：轮换混合积的三个因子,并不改变它们的值,对调任何两个因子要改变乘积符号,即

  • 定理1.9.4：如果 $\boldsymbol{a}=X_{1} \boldsymbol{i}+Y_{1} \boldsymbol{j}+Z_{1} \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=X_{2} \boldsymbol{i}+Y_{2} \boldsymbol{j}+Z_{2} \boldsymbol{k}, \boldsymbol{c}=X_{3} \boldsymbol{i}+Y_{3} \boldsymbol{j}+Z_{3} \boldsymbol{k}$ ,那么

  • 定理1.10.1：

重点公式

  • 三角不等式

  • 三点共线充要条件

  • 四点共面充要条件

    或

  • 点乘混合积推论

  • 向量 $\boldsymbol{d}$ 对于 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 的分解式(Cramer法则)

    已知

    有

    所以有

    同理可得

  • 拉格朗日恒等式

解析几何第二章总结

重点概念

暂无，本章主要是例题和方法。

重点公式

  • 球坐标系

    image-20221028213451308

    反过来，又有关系

  • 柱坐标系

    image-20221028213730297

    反过来，又有关系

例题和方法

  • 例题1（利用向量的加减法求曲线方程）一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一点的轨迹.

    image-20221028214124196

    首先,观察图像.把动点设为 $P$ ,接下来考虑怎么用向量组合出 $\overrightarrow{O P}$ 这一向量.

    首先可以得到这一个式子,接下来该考虑如何把剩下的三个向量表示出来.假设 $|\overrightarrow{C P}|$ 的长度为 $a$ ,并且假设 $\angle ACP = \theta$ .于是可以得到

    化简而来可得

  • 例题2 （利用参数方程表示曲面方程） 一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动,另一方面作平行于轴线的等速直线运动,其速度与角速度成正比,求这个质点运动的轨迹方程.

    image-20221028220746229

    如图所示建立坐标系 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ , $A$ 的坐标为 $\{a,0,0\}$ , $P$ 点表示在线上的点,而它在平面 $xOy$ 上的投影点 $Q$ ,设点 $P$ 经过 $t$ 秒从 $A$ 点到达 $P$ 点.那么可以得到

    这里假设直线运动速度 $v$ 与角速度 $\omega$ 之比为 $b$ ,即 $\frac{v}{\omega}=b$ ,因此有

    其参数方程写法为

    接着由物理可得 $\omega t= \theta$ ,将其代入上述式子中可得

    所以,该式就为螺旋线方程的参数方程形式.

解析几何第三章总结

重点概念

  • 定理3.5.1： 直线 (1) 与平面 (2) 的相互位置关系有下面的充要条件

    $1^{\circ}$ 相交:

    $2^{\circ}$ 平行:

    $3^{\circ}$ 直线在平面上:

  • 定理3.7.1：判定空间两直线 (1) 与 (2) 的相关位置的充要条件为

    $1^{\circ}$ 异面:

    $2^{\circ}$ 相交:

    $3^{\circ}$ 平行:

    $3^{\circ}$ 平行:

  • 定理3.7.3：两异面直线 (1) 与 (2) 之间的距离计算公式是

    image-20221031224924355

    如果用坐标表示则是

重点公式和概念

  • 平面方程的多种表示方法

    1. 由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程

      image-20221031225551396

      在空间, 取仿射坐标系 $\left\{O ; \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right\}$ , 并设点 $ M_{0} $ 的向径 $\overrightarrow{O M_{0}}=\boldsymbol{r}_{0} $ , 平面 $\pi$ 上的任意一点 $ M $ 的向径为 $\overrightarrow{O M}=\boldsymbol{r}$ (图 3-1) , 显然点 $M$ 在平面 $\pi$ 上的充要条件为向量 $\overrightarrow{M_{0} M}$ 与 $ \boldsymbol{a}$ , $\boldsymbol{b}$ 共面. 因为 $ \boldsymbol{a}$ , $ \boldsymbol{b}$ 不共线, 所以这个共面 的条件可以写成

      又因为 $\overrightarrow{M_{0} M}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}$ , 所以上式可改写为

      上方程叫做平面$\pi$ 的向量式参数方程, 其中 $u, v $ 为参数.

      如果设点 $M_0$ , $M$ 的坐标分别为 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right),(x, y, z)$ ,那么

      并且设

      可得

      上方程组叫做平面$\pi$ 的坐标式参数方程, 其中 $u, v $ 为参数.

    2. 已知平面上三点决定的平面方程

      已知三点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$

      以上方程都叫做三点式方程

      其特殊情况为

      image-20221031231350573

      其方程为

    3. 平面的一般方程
      平面任意方程都可以表示为

      其中 ${A,B,C}$ 为平面的法向量,

    4. 平面的法式方程
      如果设 $\boldsymbol{n}=\{A, B, C\}, M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z)$ , 那么

      于是平面方程可以表示为

      上方程被称作点法式方程.

      如果想把普通方程转化为法式方程则需要

      必要条件 $\frac{D}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} < 0$ .

  • 离差的求法

    设一方程 $A x+B y+C z+D=0$ 求点 $M\{x_1,y_1,z_1\}$ 到平面的离差

    将方程法化

    这里的 $\frac{D}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} < 0$ , 将 $M$ 代入

    其绝对值即为点到平面的距离.

  • 空间直线的多种表示方法

    1. 由直线上一点决定的直线方程

      设点 $M\{x_0,y_0,z_0\}$ 在直线方程上, 其法向量为 $\boldsymbol{v}=\{X,Y,Z\}$ , $\boldsymbol{r}_0 = \{x_0,y_0,z_0\}$

      上述方程分别为坐标参数方程、向量参数方程. 消去参数可得

    2. 直线的一般方程

      直线可以看作两个非平行平面的交线

      其相交直线方向向量 $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{n}_{\pi_1} \times \boldsymbol{n}_{\pi_2}$

  • 空间异面直线的公垂线求法

    已知两条直线：

    其方向向量：$\boldsymbol{v}_1=\{X_1,Y_1,Z_1\} \quad \boldsymbol{v}_2=\{X_2,Y_2,Z_2\}$ , 其公垂线方程为：

  • 直线到平面的射影直线和射影平面求法

    已知一条直线和一个平面：

    直线可写为：

    利用平面束可将经过这条直线的所有平面(除 $\frac{y-y_{1}}{Y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{Z_{1}}$)写为：

    其法向量显然：

    原平面法向量为：

    所以仅需要 $\boldsymbol{r}_1 \cdot \boldsymbol{r}_2 = 0$ 即可得到 $\lambda$ 的具体值, 将其代入式子可得到投影所在面的方程：

    将其联立可得到投影直线方程：

解析几何第四章总结

重点概念

  • 定义4.1.1：在空间, 由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面, 定方向叫做柱面的方向, 定曲线叫做柱面的准线, 那族平行直线中的每一条直线, 都叫做柱面的母线.

  • 定理4.1.1：在空间直角坐标系中, 只含两个元(坐标)的三元方程所表示的曲面是一个柱面, 它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴.

  • 定义4.2.1：在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面, 这些直线都叫做雉面的母线, 那个定点叫做雉面的顶点, 定曲线叫做锥面的准线.

  • 定理4.2.1：一个关于 $x, y, z$ 的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面.

    齐次方程的形式为：

  • 定义4.3.1：在空间,一条曲线 $\Gamma$ 绕着定直线 $l$ 旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面, 或称回转曲面. 曲线 $\Gamma$ 叫做旋转曲面的母线, 定直线 $l$ 叫做旋转曲面的旋转轴, 简称为轴.

  • 常见方程

    • 椭球面(三正)

    • 单叶双曲面(两正一负)

    • 双叶双曲面(两负一正)

    • 椭圆抛物面(两个正二次 = 一个一次)

    • 双曲抛物面(一正一负二次 = 一个一次)

  • 定理4.7.1：单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲拋物面上异族的任意两直母线必相交.

  • 定理4.7.2：单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.

例题和方法

  • 求直线 $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}$ 绕直线 $x=y=z$ 旋转所得的旋转曲面的方程.

    设 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 是母线上的任意点, 因为旋转轴通过原点, 所以过 $M_{1}$ 的纬圆方程是

    由于 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 在母线上, 所以又有

    即

    消去 $x_1,y_1,z_1$ 得方程为

  • 方程绕坐标轴旋转

    当坐标面上的曲线 $\Gamma $ 绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时, 为了求出这样的旋转曲面的方程, 只要将曲线 $\Gamma$ 在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标, 而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标.

  • 单叶双曲面与双曲拋物面的直母线

    • 单叶双曲面

      • $u$ 族曲线(正负号相同)

      • $v$ 族曲线(正负号相反)

    • 双曲抛物面

      • $u$ 族曲线

      • $v$ 族曲线

解析几何第五章总结

重点概念

  • 定义 5.2.1：满足条件 $\Phi(X, Y)=0$ 的方向 $X: Y$ 叫做二次曲线的渐近方向, 否则叫做非渐近方向.

  • 定义 5.2.2：没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型, 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型.

  • 定义 5.2.3：如果点 $C$ 是二次曲线的通过它的所有弦的中点(因而 $C$ 是二次曲线的对称中心), 那么点 $C$ 叫做二次曲线的中心.

  • 定理 5.2.1：点 $C(x_0,y_0)$ 是二次曲线的中心, 其充要条件是

    推论：坐标原点是二次曲线的中心, 其充要条件是曲线方程里不含 $x$ 与 $y$ 的一次项.

  • 定义 5.2.4：有惟一中心的二次曲线叫做中心二次曲线, 没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线, 有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线, 无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.

  • 定义 5.3.2：二次曲线上满足条件 $F_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)=F_{2}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 的点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 叫做二次曲线的奇异点,简称奇点;二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正则点.

  • 定义 5.4.1：二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径, 它所对应的平行弦叫做共轭于这条直径的共轭弦, 而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.

  • 定理 5.4.2：中心二次曲线的直径通过曲线的中心, 无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向, 线心二次曲线的直径只有一条, 就是曲线的中心直线.

  • 定义 5.4.2：中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.

  • 定义 5.5.1：二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径, 主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.

  • 定理 5.5.4：中心二次曲线至少有两条主直径, 非中心二次曲线只有一条主直径.

例题和方法

  • 记号约定

  • 交直线

    存在二次曲线和一直线：

    其相交方程简化为：

    现在可以知道其特征判别式：

    现在进行讨论：

    1. $\Delta > 0$：直线于二次曲线有两个相异交点.
    2. $\Delta = 0$：直线于二次曲线有两个相同交点.
    3. $\Delta < 0$：直线于二次曲线有两个虚轴交点.

  • 渐进方向

    渐进方向的实质是当 $x,y\to \infty$ 趋向于无穷的时候 $F(x,y)\to0$ , 因此可以忽略 $x,y$ 的一次项, 有：

    进行处理 ( $Y \ne 0$ )：

    之后即可求出二次曲线的渐进方向, 显然其特征判别式, 并请读者自行讨论

  • 二次曲线的中心

    • 交直线的中心

      因为直线的参数方程的定义, $t$ 这里表示直线的特征长度, 于是可以利用 $t_1+t_2=-\frac{b}{a}=0$ 的 $Vieta $ 定理可得到：

      进而可以求出交直线中点坐标 $(x_0,y_0)$.

    • 二次曲线的中心

      进一步思考, 如果对于任意的 $X,Y$ 都成立 $X F_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)+Y F_{2}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 这一式子, 那么得出的 $(x_0,y_0)$ 坐标即是曲线中点的坐标, 而实现这一条件仅需要 $F_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \quad F_{2}\left(x_{0}, y_{0}\right) =0$ .

      这样，我们就求出了中心 $(x_0,y_0)$ .

      接下来进行讨论：

      其系数矩阵为：

      1. 如果 $\Delta \ne 0$ , 那么该二次曲线有唯一非零中心, 此曲线是中心曲线.
      2. 如果 $\Delta = 0$
        • 行向量 $\boldsymbol{r}_1[a_{11},a_{12},a_{13}]$ 如果可以由另一行向量 $\boldsymbol{r}_2[a_{12},a_{22},a_{23}]$ 线性表示, 则说明有无穷多组解, 也可以说此曲线是线心曲线.
        • 行向量 $\boldsymbol{r}_1[a_{11},a_{12},a_{13}]$ 如果不能由另一行向量 $\boldsymbol{r}_2[a_{12},a_{22},a_{23}]$ 线性表示, 则说明没有解, 也可以说此曲线是无心曲线.

  • 二次曲线的切线

    • 点在曲线上

      因为点在直线上, 可以得到 $F(x_0,y_0)=0$ 于是利用 $\Delta = F_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot X+F_{2}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot Y=0$ 得到 $\frac{X}{Y}$ , 进而算出直线方程.

    • 点不在直线上

      利用 $\Delta = \left[F_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot X+F_{2}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot Y\right]^2-\Phi(X, Y) \cdot F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 得到 $\frac{X}{Y}$ , 进而算出直线方程.

  • 二次曲线的直径

    • 共轭于某一条直线的直径

      利用 $x_0,y_0$ 得到共轭直线的方向数

      利用 $X:Y$ 代入

      此方程即为共轭某一条直线的方程

    • 共轭于直径的直径(已知 $X,Y$)

      将其化简可得到方向数 $X’:Y’ = -(a_{12}X+a_{22}Y):(a_{11}X+a_{12}Y)$ 将代入新的 $X’ F_{1}(x, y)+Y’ F_{2}(x, y)=0$ 可得到另一条直线, 此直线就是共轭于其直径的共轭直径.

  • 二次曲线的主方向和主直径

    • 主方向

      当 $\boldsymbol{r}_1 \cdot \boldsymbol{r}_2 = 0$ 时，显然可以得到主方向.

    • 主直径

      将方向数代入可得 $X F_{1}(x, y)+Y F_{2}(x, y)=0 \quad X’ F_{1}(x, y)+Y’ F_{2}(x, y)=0$ 如果出现 $0=0$ 或 $C=0$ 即此方程不存在.

  • 二次曲线化简

    • 移轴公式

    • 转轴公式

    • 转轴角度的求解

      将转轴公式代入 $F(x,y)$ 中, 消去 $xy$ 交叉项, 其系数为 $\left(a_{22}-a_{11}\right) \sin \alpha \cos \alpha+a_{12}\left(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\right)$ 令其等于 $0$ 可得

    • 注：

      • 无心曲线优先转轴, 然后进行相应配方求解
      • 有心曲线优先移轴, 然后转轴即可得到结果