独木桥

题目背景

战争已经进入到紧要时间。你是运输小队长，正在率领运输部队向前线运送物资。运输任务像做题一样的无聊。你希望找些刺激，于是命令你的士兵们到前方的一座独木桥上欣赏风景，而你留在桥下欣赏士兵们。士兵们十分愤怒，因为这座独木桥十分狭窄，只能容纳 $1$ 个人通过。假如有 $2$ 个人相向而行在桥上相遇，那么他们 $2$ 个人将无法绕过对方，只能有 $1$ 个人回头下桥，让另一个人先通过。但是，可以有多个人同时呆在同一个位置。

题目描述

突然，你收到从指挥部发来的信息，敌军的轰炸机正朝着你所在的独木桥飞来！为了安全，你的部队必须撤下独木桥。独木桥的长度为 $L$，士兵们只能呆在坐标为整数的地方。所有士兵的速度都为 $1$，但一个士兵某一时刻来到了坐标为 $0$ 或 $L+1$ 的位置，他就离开了独木桥。

每个士兵都有一个初始面对的方向，他们会以匀速朝着这个方向行走，中途不会自己改变方向。但是，如果两个士兵面对面相遇，他们无法彼此通过对方，于是就分别转身，继续行走。转身不需要任何的时间。

由于先前的愤怒，你已不能控制你的士兵。甚至，你连每个士兵初始面对的方向都不知道。因此，你想要知道你的部队最少需要多少时间就可能全部撤离独木桥。另外，总部也在安排阻拦敌人的进攻，因此你还需要知道你的部队最多需要多少时间才能全部撤离独木桥。

输入格式

第一行共一个整数 $L$，表示独木桥的长度。桥上的坐标为 $1, 2, \cdots, L$。

第二行共一个整数 $N$，表示初始时留在桥上的士兵数目。

第三行共有 $N$ 个整数，分别表示每个士兵的初始坐标。

输出格式

共一行，输出 $2$ 个整数，分别表示部队撤离独木桥的最小时间和最大时间。$2$ 个整数由一个空格符分开。

样例 #1

样例输入 #1

1
2
3
4
2
1 3

样例输出 #1

1
2 4

提示

对于 $100\%$ 的数据，满足初始时，没有两个士兵同在一个坐标，$1\le L\le5\times 10^3$，$0\le N\le5\times10^3$，且数据保证 $N\le L$。

题解

题目解析

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但是，如果两个士兵面对面相遇，他们无法彼此通过对方，于是就分别转身，继续行走。转身不需要任何的时间。

本题的解题重点在于这里,试想:如果两个人相对而行接触到一起,互相转变方向的话.二者相互转方向之后和没有转方向可以看作同一个情况.也就是说可以理解为两个人互相穿过对方了.

这样的话,撤离独木桥的最大时间就可以理解为最靠边的人走到对面的距离,我是这么做的:排序之后把最左侧的人走到右侧和最右侧的人走到左侧二者求一个最大值.

撤离独木桥的最小时间有两种理解方法:

  • 将这段桥从$L/2$分成两个部分,在$L/2$左侧的往左走,在$L/2$右侧的往右走,找到最靠近$L/2$位置的元素并计算他们到同侧的值,即是他们的最小值.Specially,如果正好是奇数在$L/2 +1$位置上那么这个位置就是其最小值.

  • 动态规划:每个人都有其从左右走出去的较大值和较小值(Specially它们俩相等),那么我们只要找到这些数列中最大的较小值,那么我们就得到了它的最小时间.状态转移方程:

    a[i]为保存在每个位置上的每个人的位置.

AC代码

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#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[5010];
int main(){
    int L,N,maxn,minn;
    cin >> L >> N;
    for(int i=1;i<=N;i++) cin >> a[i];
    sort(a+1,a+1+N);
    if(N) maxn = max(L+1-a[1],a[N]);
    for(int i=1;i<=N;i++) minn = max(min(L+1-a[i],a[i]),minn);
    cout << minn << " " << maxn;
    return 0;
}

坑点吐槽

一共10个点,AC9个,WA了1个.最后下载数据才发现,其数据有一个:

1
2
3
0

即没有人在桥上= =,这我真蚌埠住了.但是说实话,这也有点我的原因:$0\le N\le5\times10^3$.所以说要多注意特殊情况.